A. Latar Belakang

Matematika (dari bahasa Yunani: adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Terjadi perdebatan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik sudah ada di semesta, jadi ditemukan, atau ciptaan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting". Namun, walau matematika pada kenyataannya sangat bermanfaat bagi kehidupan, perkembangan sains dan teknologi, sampai upaya melestarikan alam, matematika hidup di alam gagasan, bukan di realita atau kenyataan. Dengan tepat, Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan." Makna dari "Matematika tak merujuk kepada kenyataan" menyampaikan pesan bahwa gagasan matematika itu ideal dan steril atau terhindar dari pengaruh manusia.

Matematika selalu berkembang, misalnya di Tiongkok pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri. Pada makalah ini akan dibahas mengenai tokoh-tokoh matematika yaitu Leonhard Euler, Johann Carl Friedrich Gauss, dan Georg Friedrich Bernhard Riemann.

B. Rumusan Masalah

1. Bagaimana biografi dan penemuan Leonhard Euler?

2. Bagaimana biografi dan penemuan Johann Carl Friedrich Gauss?

3. Bagaimana biografi dan penemuan Georg Friedrich Bernhard Riemann?

C. Tujuan

1. Untuk mengetahui biografi dan penemuan Leonhard Euler.

2. Untuk mengetahui biografi dan penemuan Johann Carl Friedrich Gauss.

3. Untuk mengetahui biografi dan penemuan Georg Friedrich Bernhard Riemann.

BAB 2 PEMBAHASAN

A. Leonhard Euler

Leonhard Euler merupakan pria berkebangsaan Swiss yang lahir di Basel, 15 April 1707. Ayahnya adalah seorang pastor Calvinisme, Paul Euler yang merupakan lulusan teologi dari University of Basel dan pernah mengambil mata kuliah Jacob Bernoulli, seorang matematikawan terkemuka Eropa. Sedangkan ibunya adalah anak dari seorang pastor, Marguerite Brucker. Kedua orang tua Leonhard juga memiliki dua orang putri yang tidak lain adalah adiknya, yaitu Anna Maria dan Maria Magdalena. Satu tahun setelah kelahiran Leonhard Euler, keluarganya pindah ke Riehen. Di Riehen pula Leonhard menghabiskan masa kecilnya. Karena ayah Leonard pernah mengambil kelas matematika ketika kuliah, sehingga ia pun mengajarkan matematika dasar kepada anak lelakinya itu. Leonard menjalani pendidikan formal di Basel, dimana pada saat itu ia harus tinggal bersama nenek
dari pihak ibunya. Sekolah Leonard bisa dibilang sebagai salah satu sekolah miskin yang ada dipenjuru negeri, sehingga tidak mempelajari matematika.
Meski tidak mempelajari matematika secara formal, tetapi minatnya akan matematika tidak berhenti terutama setelah sang ayah mengajarinya matematika dasar. Hal tersebut yang pada akhirnya mendorong Leonhard kecil untuk membaca buku matematika sendiri dan mengambil beberapa les privat matematika. Ayah Leonard yang seorang pastor menginginkan agar putra satu-satunya itu mengikuti jejaknya menjadi pastor, sehingga ayahnya mengirimnya ke University of Basel untuk persiapkan menjadi seorang pastor. Di tahun 1720, ketika usianya masih 14, Leonhard masuk ke University of Basel dan menjalani pendidikan umum sebelum akhinya ia menjalani studi lebih lanjut. Johann Bernoulli, seorang matematikawan terkemuka Eropa yang juga dosen dan sahabat baik ayah Leonard ketika berkuliah di University of Basel. Pada akhirnya, Johann Bernoulli, menjadi orang pertama yang menyadari potensi besar Leonard terhadap matematika setelah menjalani les privat yang digagas Leonard sendiri. Di tahun 1723, Leonard menyandang gelar Master bidang filsafat setelah membandingkan filsafat Descartes dan Newton. Demi mewujudkan keinginan ayahnya, Leonard memulai studi teologinya ketika musim gugur 1723. Meski sejak lahir Leonard berasal dari keluarga Kristen yang taat, tetapi selama menjalani studi teologinya, ia tidak menemukan antusiasme tentang teologi, bahasa Yunani dan bahasa
Ibrani. Hal ini sangat berbanding terbalik dengan antusiasme pada matematika yang sangat besar. Setelah Johann Bernoulli meyakinkan Paul Euler bahwa Leonhard ditakdirkan untuk menjadi seorang matematikawan hebat, akhirnya Leonhard diperbolehkan mendalami bidang yang diminatinya itu. Leonhard Euler akhirnya lulus dari University of Basel pada 1726 setelah memperlajari
banyak karya di bidang matematika.

Karir Leonhard Euler

· Leonhard Euler pindah ke Rusia dan menjabat sebagai Letnan Medis di Angkatan Laut Rusia dari tahun 1727 -1730. Selam di Rusia Leonhard tinggal bersama anak dari Johann Bernoulli, Daniel yang tinggal di Negara beruang putih.

· Ia menjadi guru besar fisika di St Petersburg Academy of Sciences, Rusia pada tahun 1730. Daniel, yang menjabat senior di Departemen Matematika akhirnya meninggalkan posisi tersebut dan digantikan oleh Leonhard yang diangkat pada 1733.

· Leonhard merupakan penulis produktif yang sudah menghasilkan banyak artikel dan buku. Buku ‘Mechanica’ yang diterbitkan pada 1736 – 1737 menjelaskan tentang Dinamika Newton dalam bentuk analisis matematika.

· Buku lainnya adalah ‘Introductio in analysin infinitorum’ yang diterbitkan pada 1748 dengan mengembangkan fungsi konsep dalam analisis matematika. Karya-karya yang dihasilkannya sangat berpengaruh pada geometri analitis modern dan trigonometri.

· Selain matematika, Leonhard juga tertarik pada astronomi, sehingga mengembangkan teori gerak lunar yang melibatkan interaksi antara matahari, bulan dan bumi. Di bidang astronomi, ia hanya bisa merancang solusi parsial yang kemudian diterbitkan pada 1753.

· Ia menulis buku kalkulus, ‘Institutiones calculi differentialis’ pada 1755 kemudian ‘Institutiones calculi integralis’ sejak 1768-1770. Hasil karyanya ini menjadi dasarkalkulus modern seperti formula integrasi dan diferensiasi.

· Ia menjelaskan prinsip-prinsip dasar mekanika, optik, fonetik, dan astronomi melalui karyanya ‘Lettres a une princesse d’Allemagne’ yang diterbitkan dari 1768 – 1772.

· Leonhard membuktikan identitas Newton, dan juga beberapa teori-teori yang dikemukakan oleh matematikawan, Fermat, termasuk didalamnya teorema kecil Fermat dan teorema Fermat
pada jumlah dua kotak.

· Leonhard mengolah teorema kecil Fermat lalu menggunakan temuannya sendiri dan fungsi-fungsi yang sudah dikembangkannya, kemudian menyebutnya sebagai teorema Euler.

· Leonard berperan penting dalam perkembangan persamaan balok Euler-Bernoulli yang saat ini menjadi dasar teknik. Ia juga sangat populer menggunakan temuan ilmiah untuk memecahkan masalah-masalah dikehidupan nyata, dan salah satu yang sangat terkenal adalah teka-teki jembatan Königsberg.

· Leonard juga memperkenalkan beberapa simbol konvensi pada matematika melalui banyak artikel dan buku, termasuk ia yang memberikan konsep fungsi dan menjadi orang pertama yang
menulis f (x).

· Memperkenalkan simbol modern untuk fungsi trigonometri dan karena jasanya tersebut maka digunakan lambang ‘e’ sebagai landasan logaritma natural.

Penghargaan dan Karya Terbesar Leonhard Euler:

· Leonhard Euler pertama kali mengikuti kompetisi Paris Academy Prize Problem pada tahun 1727 yang membawanya berada diurutan kedua. Di kompetisi yang sama ia sudah berpartisipasi beberapa kali dan memenangkan hadiah sebanyak dua belas kali sepanjang hidupnya.

· Ia sangat diperhitungkan sebagai matematikawan terbesar yang pernah berjalan dunia. Ia sudah berkontribusi luar biasa di bidang matematika dan menjadi matematikawan yang diabadikan dalam notasi matematika, yaitu Nomor Euler dalam kalkulus ‘e’ (kurang lebih sama dengan 2.71828), dan konstanta Euler-Mascheroni ‘γ’ (kira-kira sama dengan 0.57721).
Ia membantu mengembangkan persamaan balok Euler-Bernoulli yang aplikasinya meluas ke teknik sipil dan teknik mesin.

· Leonhard memperkenalkan beberapa simbol konvensi, seperti penulisan ‘f (x)’ untuk menunjukkan fungsi, huruf Yunani ‘Σ’ untuk jumlah dan huruf ‘e’ untuk dasar logaritma natural.

B. Johann Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) adalah seorang matematikawan, astronomi, dan fisikawan asal Jerman legendaris yang memberikan beragam kontribusi. Ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa selain Archimedes dan Isaac Newton. Pada usia tujuh tahun, Carl Friedrich Gauss memulai sekolah dasar, dan potensinya segera diketahui. Gurunya, Büttner, dan asistennya, Martin Bartels, tercengang saat Gauss menyimpulkan Bilangan bulat dari 1 sampai 100 langsung dengan melihat bahwa jumlahnya adalah 50 pasang bilangan yang masing-masing pasangan dijumlahkan menjadi 101.

Pada 1788 Gauss memulai pendidikannya di Gimnasium dengan bantuan Büttner dan Bartels, di mana dia belajar bahasa Jerman dan Latin. Setelah menerima uang saku dari Duke of Brunswick- Wolfenbüttel, Gauss memasuki Brunswick Collegium Carolinum pada tahun 1792. Di akademi Gauss secara independen menemukan hukum Bode, teorema binomial dan mean geometri aritmetika, serta hukum timbal balik kuadrat dan prima. Nomor teorema. Gauss menerbitkan buku keduanya, Theoria motus corporum coelestium di sectionibus conicis Solem ambientium, pada tahun 1809, sebuah risalah volume utama dua pada gerak benda langit. Pada volume pertama ia membahas persamaan diferensial, bagian kerucut dan orbit berbentuk bulat panjang, sementara pada volume kedua, bagian utama dari pekerjaan tersebut, ia menunjukkan bagaimana memperkirakan dan kemudian memperbaiki perkiraan orbit planet. Kontribusi Gauss terhadap astronomi teoritis berhenti setelah 1817, meskipun ia terus melakukan pengamatan sampai usia 70 tahun.

Pada usia 19 tahun ia menyelesaikan masalah yang membingungkan Euclid, menggambarkan polygon 17 sisi di dalam lingkaran dengan menggunakan jangka dan kompas, dan pada tahun 1801, pada usia yang ke-24 tahun, ia mempublikasikan karya terbesarnya, Disquisitiones Arithmeticae”, yang dipandang banyak orang sebagai salah satu prestasi paling berlian dalam matematika. Dalam makalah itu Gauss melakukan sistematisasi studi dari teori bilangan (sifat-sifat bilangan bulat atau integer) dan merumuskan konse dasar dari hal tersebut.

Diantara prestasinya yang banyak sekali, Gauss menemukan kurva Gaussian atau kurva berbentuk lonceng yang merupakan dasar teori probabilitas, memberikan interpretasi geometric pertama mengenai bilangan kompleks dan mengembangkan metode-metode karakteristik permukaan secara interistik dengan menggunakan kurva-kurva yang dikandungnya, mengembangkan teori pemetaan konformal (angle preserving) dan menemukan geometri non-Euclidean 30 tahun sebelum dipublikasikan oleh orang lain. Dalam bidang fisika ia memberikan sumbangan yang besar terhadap teori lensa dan gerakan kapiler, dan bersama Wilhelm Weber ia mengerjakan pekerjaan penting dalam bidang elektromagnetisme, magnetometer bifilar dan elektrograf. Gauss adalah orang yang sangat religious dan aristoratik dalam kesajaannya. Ia dengan mudah menguasai bahasa-bahasa asing, sangat senang membaca dan meminati bidang minarologi dan botani sebagai hobi. Ia tidak suka mengajar dan biasanya bersikap dingin tidak mendukung terhadapahli matematika yang lainnya, kemungkinan ini karena ia mengantisipasi kerja mereka. Dikatakan bahwa jika saja Gauss mempublikasikan semua penemuaannya, maka matematika saat ini akan lebih maju 50 tahun. Tak diragukan lagi bahwa ia adalah ahli matematika terbesar dalam era modern. Wilhelm Jordan (1842-1899) adalah seorang insinyur Jerman yang ahli dalam bidang geodesi. Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya, Handbuch de Vermessungskunde (Buku panduan Geodesi) pada tahun 1988. Contoh Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol). Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama.

Penemuan-penemuan Johann Carl Friedrich Gauss:

Nama Gauss mulai terkenal sehingga merencanakan menggunakan bahan-bahan dalam buku itu untuk disertasi doktoral, namun pihak penerbit menolak. Dicari judul lain sebelum akhirnya didapat judul panjang, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus revolvi posse yang terbit lebih awal, tahun 1799. Isi tesis doktoral adalah membuktikan theorema dasar aljabar – membuktikan bahwa polinomial pangkat n (kuadrat adalah pangkat 2 dan kubik adalah pangkat 3, quartik adalah pangkat 4 dan seterusnya) mempunyai (hasil) akar pangkat n juga. Hal tersebut baru valid (sahih) apabila perlakuan terhadap bilangan imajiner sama seperti bilangan riil.

Untuk bilangan riil:

x⁴ + 2x³ + 9 = 0 akan mempunyai 4 hasil (bilangan) akar
x³ + x² + 2x + 4 = 0 akan mempunyai 3 hasil (bilangan) akar.

Untuk bilangan imajiner:

x² + 4 = 0 tidak dapat diselesaikan apabila bilangan riil yang dipakai.

Hasil yang diperoleh adalah x = ± √-4, atau x = ± 2√-1. Seperti dinyatakan oleh Euler bahwa ekspresi √- 1 dan √-2 tidak dimungkinkan atau merupakan bilangan-bilangan imajiner, karena akar bilangan adalah negatif; sesuatu tidak ada apa-apa (nothing) karena bukan bilangan dan bukan pula bilangan yang lebih besar dari sesuatu tidak ada (nothing).* Gauss menyatakan bahwa bilangan negatif juga termasuk dalam sistim bilangan. Tidak lama setelah terbitnya Disquisitiones Arithmeticae, Gauss menjadi pengajar dan menulis makalah singkat berjudul The Metaphysics of Mathematics, yang disebut sebagai salah satu uraian singkat dan jelas yang pernah ditulis tentang dasar-dasar matematika. Penyederhanaan ini dimaksudkan pada keyakinan bahwa akan memudahkan mahasiswa belajar matematika.

Sistem bilangan

Gauss membagi bilangan dimulai dari bilangan kompleks. Dari bilangan kompleks itu kemudian diturunkan bilangan-bilangan lain. Bilangan riil, sebagai contoh, sebenarnya adalah bilangan dalam bentuk a + bi, dimana a adalah bilangan riil dan b = nol; bilangan imajiner adalah bilangan kompleks yang mempunyai bentuk sama dengan a = nol dan b adalah bilangan riil. Untuk memudahkan penjelasan diberikan diagram di bawah ini.
Keberadaan bilangan kompleks tidak hanya mempengaruhi aljabar, tapi juga berdampak pada analisis dan geometri. Teori fungsi dari bilangan kompleks kemudian dikembangkan; geometri diferensial [angka] mutlak dan analisis vektor – sangat vital bagi sains modern – berkembang sehingga dikenal bilangan-bilangan setengah-riil dan setengah-imajiner. Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dibagi, dipangkat atau dicari hasil akarnya dalam kasus dimana bilangan kompleks dalam bentuk a + bi – meskipun a, b atau keduanya mungkin sama dengan nol. Bilangan baru dapat dibuat untuk melakukan operasi terhadap bilangan-bilangan kompleks. Sistem bilangan aljabar lama sekarang tertutup, untuk penggunaan bilangan-bilangan kompleks, semua bentuk persamaan dapat diselesaikan dan semua jenis operasi dapat dilakukan. Deret tidak terhingga yang terus membesar seperti 1 + 2 + 4 + 8 + … menggoda hati Gauss, yaitu bagaimana menghitung eskpresi matematika (fungsi) untuk menggambarkannya. Pada analis sebelumnya tidak dapat menjelaskan misteri ini, proses menuju ketakterhinggaan. Tidak puas dengan apa yang tertulis pada buku teks, Gauss menyiapkan pembuktian. Awal yang membuat Gauss berkutat dengan analisis. Metode Gauss ini mengubah seluruh aspek matematika.

Menekuni astronomi

Sangat disayangkan, energi matematika Gauss sempat terhenti pada usia 24 tahun. Minat terhadap matematika berubah menjadi astronomi. Hal ini tidak dapat dihindari karena tidak ada universitas yang menghargai bakat-bakat matematikanya yang terus dirongrong kesulitan finansial – tidak dapat mengharapkan bangsawan Brunswick terus menerus memberi subsidi – dia mengambil jalan cepat meraih prestasi akademik, ketenaran dan tentunya uang lewat astronomi. Saat itu telah diketahui beberapa planet kecil dan di sini Gauss berupaya menghitung orbit dengan matematika. Gayung bersambut karena pada tahun 1801, Akademi Sains St. Peterburg menunjuk Gauss menjadi direktur observatorium. Mendengar kabar ini bangsawan Brunswick menaikkan uang “jajan” Gauss serta berjanji membangun observatorium yang sama di Brunswick. Tawaran pihak Rusia ditolak oleh Gauss karena loyalitas ini. Para matamatikawan terkemuka Eropa membuat pernyataan dan mendaulat agar Gauss diterima di universitas Gottingen. Negosiasi ini berjalan alot, lima tahun kemudian, baru disetujui, sedang Gauss sendiri terus melakukan penelitian astronomi di Brunswick. Gauss selalu mengalami kesulitan menjadi seorang pengajar. Cara pandangnya yang kelewat jauh membuat siswa-siswanya frustrasi. Sebaliknya, Gauss menganggap siswa-siswanya tidak pernah siap menghadapi kuliahnya. Buku karya Gauss juga sulit dipahami dimana salah seorang yang mampu memecahkannya adalah teman sekaligus murid Gauss, [Peter Gustav Lejeune] Dirichlet (1803 – 1859).
menghabiskan hampir seluruh hidupnya di Gottingen dan meninggal di sana juga.

C. Georg Friedrich Bernhard Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann (lahir 17 September 1826 – meninggal 20 Juli 1866 pada umur 39 tahun) ialah matematikawan Jerman yang membuat sumbangan penting pada analisis dan geometri diferensial, beberapa darinya meratakan jalan untuk pengembangan lebih lanjut pada relativitas umum. Namanya dihubungkan dengan fungsi zeta Riemann, integral Riemann, lema Riemann, manipol Riemann, teorema pemetaan Riemann, problem Riemann-Hilbert, teorema Riemann-Roch, persamaan Cauchy-Riemann dll. Ia lahir di Breselenz, sebuah desa dekat Dannenberg di Kerajaan Hanover di Jerman sekarang. Ayahnya Friedrich Bernhard Riemann ialah pastor Lutheran di Breselenz. Bernhard merupakan anak kedua dari 6 bersaudara.

Pada 1840 Bernhard pergi ke Hanover untuk tinggal dengan neneknya dan mengunjungi Lyceum. Setelah kematian neneknya pada 1842 ia pindah ke Johanneum di Lüneburg. Pada 1846, pada usia 19, ia mulai belajar filologi dan teologi di Universitas Göttingen. Ia mengikuti ceramah Gauss. Pada 1847 ayahnya mengizinkannya berhenti belajar Teologi dan mulai belajar matematika. Pada 1847 ia pindah ke Berlin, di mana Jacobi, Dirichlet dan Steiner mengajar. Ia tinggal di Berlin selama 2 tahun dan kembali ke Göttingen pada 1849. Riemann menyelenggarakan ceramah pertamanya pada 1854, yang tak hanya menemukan bidang geometri Riemann namun menentukan tahapan untuk relativitas umum Einstein. Ia dipromosikan sebagai guru besar istimewa di Universitas Göttingen pada 1857 dan menjadi guru besar luar biasa pada 1859 menyusul kematian Dirichlet.

Penemuan G.F Riemann:

Perhatikan contoh berikut. Diketahui suatu kurva dengan persamaan y = 4 – x². Berapakah luas daerah yang terletak di bawah kurva tersebut, di atas sumbu x, dan dibatasi sumbu y dan garis x = 4? Luas daerah yang dimaksud adalah area berwarna biru pada Gambar 1 di bawah ini

Salah satu pendekatan yangmungkin dibuat adalah dengan membuat sayatan-sayatan persegi panjang di dalam bidang yang akan dihitung luasnya, digambarkan sebagai berikut.

Misalkan bidang berwarna biru tadi digambarkan di selembar kertas. Kemudian, dengan menggunakan kertas berwarna merah, kita buat 4 buah persegi panjang yang lebarnya masing-masing adalah 0,4 satuan dan tinggi setiap persegi panjang tersebut dibuat sedemikian hingga sudut kanan atas persegi panjang terletak pada kurva y = 4 – x² seperti pada Gambar 2 di samping. Panjang masing-masing persegi panjang tersebut dapat dihitung dan disajikan pada tabel berikut.

Tabel 1

X	y = 4 – x² (panjang)	Lebar	Luas
0,4	3,84	0,4	1,536
0,8	3,36	0,4	1,344
1,2	2,56	0,4	1,024
1,6	1,44	0,4	0,576
2,0	0,00	0,4	0,000 *)
		Jumlah	4,480

tidak menghasilkan suatu persegi panjang, namun ditampilkan dalam hubungannya dengan pembahasan selanjutnya mengenai partisi

Tabel 1 menyajikan panjang, lebar, dan luas masing-masing persegi panjang. Apabila keempat persegi panjang itu kita tempatkan/pasangkan/tempelkan di daerah biru seperti pada Gambar 2, maka akan terlihat bahwa keempat persegi panjang merah menyisakan daerah biru yang tidak tertutupi. Ini menandakan bahwa sebenarnya luas total semua persegi panjang, yaitu 4,480 (lihat Tabel 1), sebenarnya kurang dari luas daerah biru, yaitu luas yang dipersoalkan.

Bagaimana caranya agar, dengan metode serupa ini, semakin sedikit daerah biru yang tidak tertutupi? Ini dapat dilakukan dengan membuat irisan persegi panjang yang lebih tipis-tipis lagi. Sekarang kita buat 9 buah persegi panjang kuning yang lebarnya masing-masing adalah 0,2 satuan. Panjangnya masing-masing dapat dilihat pada Tabel 2.

Tabel 2

X	y = 4 – x² (panjang)	Lebar	Luas
0,2	3,96	0,2	0,792
0,4	3,84	0,2	0,768
0,6	3,64	0,2	0,728
0,8	3,36	0,2	0,672
1,0	3,00	0,2	0,600
1,2	2,56	0,2	0,512
1,4	2,04	0,2	0,408
1,6	1,44	0,2	0,288
1,8	0,76	0,2	0,152
2,0	0,00	0,2	0,000 *)
		Jumlah	4,920

tidak menghasilkan suatu persegi panjang, namun ditampilkan dalam hubungannya dengan pembahasan selanjutnya mengenai partisi

Kesembilan persegi panjang kuning tersebut kemudian dipasangkan/ditempelkan pada daerah berwarna biru dengan cara seperti yang dapat dilihat pada Gambar 3 berikut ini.

Tampak bahwa dengan sembilan persegi panjang kuning ini, semakin sedikit daerah biru yang tersisa. Ini menandakan total luas daerah kuning, yaitu 4,920 (lihat Tabel 2), semakin mendekati lagi luas daerah yang ditanyakan.

Untuk mempersedikit lagi sisa daerah berwarna biru, tentunya kita dapat melakukan proses serupa, yaitu dengan memperkecil lebar persegi panjang (membuat irisan-irisan yang lebih tipis) atau dengan memperbanyak persegi panjang.

Pada percobaan pertama, kita membagi selang tutup [0,2] menjadi 5 selang yang lebarnya sama, yaitu 2/5 = 0,4 satuan, yang merupakan lebar masing-masing persegi panjang merah. Di percobaan kedua kita membagi selang tersebut menjadi 10 selang yang lebarnya sama, yaitu 2/10 = 0,2 satuan, yang merupakan lebar masing-masing persegi panjang kuning. Sekarang, misalkan [0,2] dibagi menjadi n buah selang yang lebarnya sama, yaitu 2/n. Akibatnya, panjang persegi panjang ke-I adalah

dan luas masing-masing persegi panjang adalah L_i =

dan total luas (n – 1) buah persegi panjang tersebut adalah:

$Description: S_{n}=sum{i=1}{n}{L_{i}}=8-{8}/{n^3}~sum{i=1}{n}{i^2}$

$Description: sum{i=1}{n}{i^2}={n(2n+1)(n+1)}/{6}$ Karena ,

S_n dapat dinyatakan sebagai berikut:

$Description: S_{n}=8-{4(2n+1)(n+1)}/{3n^2}$

Apabila n semakin besar (irisan persegi panjang semakin tipis), total luas semua persegi panjang tersebut adalah:

nilai L inilah yang merupakan luas daerah yang ditanyakan.

Pada pembahasan di atas, S_n merupakan suatu jumlah Riemann (Riemann sum). Apabila $Description: lim{n right infty}{S_{n}}$ konvergen ke suatu nilai L ∊ ℝ, L tersebut dinamakan integral Riemann, yang biasa dinyatakan dengan lambang integral (∫). Pada contoh ini, limit tersebut konvergen ke 16/3, dan dapat kita tulis .

$Description: int{0}{2}{(4-x^2)dx}=16/3$

Definisi Jumlah Riemann:

Pada contoh yang disajikan ini (dengan 9 buah persegi panjang), selang yang yang dimaksud adalah [0,2] dan partisinya adalah P = {x₀, x₁, x₂, …, x₁₀}, dengan x₀ = 0, x₁ = 0,2, x₂ = 0,4, x₃ = 0,6, … x₁₀ = 2. Himpunan titik sampelnya adalah {x₁, x₂, x₃, …, x₁₀}, dan jumlah Riemann yang dihasilkan dari partisi dan titik-titik sampel ini adalah R_P = 4,920.

Definisi Integral Riemann

Catatan:

‖P‖ adalah norma partisi P, yaitu lebar selang yang terbesar yang dibentuk partisi P. (Pada contoh dengan 4 persegi panjang, normanya adalah 0,4 sedangkan pada contoh dengan 9 persegi panjang, normanya adalah 0,2.) Apabila dengan semakin mengecilnya norma ternyata jumlah Riemann konvergen/menuju ke suatu nilai tertentu, dikatakanlah fungsi tersebut terintegralkan secara Riemann dan nilai yang dituju tersebut dilambangkan dengan Description: int{a}{b}{f(x)dx}

. Nilai tersebut dinamakan integral Riemann atau integral tentu fungsi f dari a ke b. Dalam contoh ini, f terintegralkan secara Riemann di [0,2] dan limit jumlah Riemann-nya konvergen ke $Description: int{0}{2}{(4-x^2)dx}=16/3$ .

BAB 3 PENUTUP

A. Kesimpulan

Leonhard Euler merupakan pria berkebangsaan Swiss yang lahir di Basel, 15 April 1707. Ayahnya adalah seorang pastor Calvinisme, Paul Euler yang merupakan lulusan teologi dari University of Basel dan pernah mengambil mata kuliah Jacob Bernoulli, seorang matematikawan terkemuka Eropa. Leonhard Euler sangat diperhitungkan sebagai matematikawan terbesar yang pernah berjalan dunia. Ia sudah berkontribusi luar biasa di bidang matematika dan menjadi matematikawan yang diabadikan dalam notasi matematika, yaitu Nomor Euler dalam kalkulus ‘e’ (kurang lebih sama dengan 2.71828), dan konstanta Euler-Mascheroni ‘γ’ (kira-kira sama dengan 0.57721).
Ia membantu mengembangkan persamaan balok Euler-Bernoulli yang aplikasinya meluas ke teknik sipil dan teknik mesin.

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) adalah seorang matematikawan, astronomi, dan fisikawan asal Jerman legendaris yang memberikan beragam kontribusi. Ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa selain Archimedes dan Isaac Newton. Pada usia tujuh tahun, Carl Friedrich Gauss memulai sekolah dasar, dan potensinya segera diketahui. Gurunya, Büttner, dan asistennya, Martin Bartels, tercengang saat Gauss menyimpulkan Bilangan bulat dari 1 sampai 100 langsung dengan melihat bahwa jumlahnya adalah 50 pasang bilangan yang masing-masing pasangan dijumlahkan menjadi 101.

Georg Friedrich Bernhard Riemann ialah matematikawan Jerman yang membuat sumbangan penting pada analisis dan geometri diferensial, beberapa darinya meratakan jalan untuk pengembangan lebih lanjut pada relativitas umum. Namanya dihubungkan dengan fungsi zeta Riemann, integral Riemann, lema Riemann, manipol Riemann, teorema pemetaan Riemann, problem Riemann-Hilbert, teorema Riemann-Roch, persamaan Cauchy-Riemann dll. Ia lahir di Breselenz, sebuah desa dekat Dannenberg di Kerajaan Hanover di Jerman sekarang. Ayahnya Friedrich Bernhard Riemann ialah pastor Lutheran di Breselenz. Bernhard merupakan anak kedua dari 6 bersaudara.

B. Saran

Sebagai orang yang mengenal dan mempelajari ilmu matematika, kita juga harus mengenal sejarah dan perkembangan ilmu matematika. Demikian makalah ini kami susun, semoga dapat bermanfaat bagi pembaca. Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman, penulis yakin masih banyak kekurangan dalam pembuatan makalah ini, Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.