KELUARGA BERNOULLI, DE MOIVRE, TAYLOR, MACLAURIN

BAB 1

PENDAHULUAN

A.      Latar Belakang

            Dewasa ini banyak dari kita hanya bisa memakai rumus-rumus matematika saja tanpa mengetahui sejarah dari penemuan rumus-rumus itu terlebih dahulu. Maka dari itu kami akan membaghas mengenai sejarah penemuan rumus-rumus tersebut tersebut, disini kami membahas mengenai penemuan yang ditemukan oleh keluarga Bernoulli, de Moivre, Taylor, Maclaurin.

B. Rumusan Masalah

1.      Apa yang dikembangkan oleh keluarga Bernoulli di dalam bidang matematika?

2.      Bagaimana cara pengunaan  dari deret Taylor?

3.      Apa itu distribusi kurva normal yang dikembangkan oleh Abraham De Moivre?

C. Tujuan Penulisan

1.      Menjelaskan mengenai yang dikembangkan oleh para tokoh-tokoh matematikawan.

2.      Menjelaskan mengenai deret pangkat Maclaurin, yaitu ekspansi dari suatu fungsi.

3.      Memaparkan mengenai deret Taylor dan  distribusi kurva normal dari Abraham De Moivre.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    KELUARGA BERNOUL

Bernoullis ( / b ər n uː l i /) adalah keluarga bangsawan pedagang dan ilmuwan, berasal dari Antwerp, yang bermukim di Basel, Swiss. Nama itu terkadang salah eja Bernou- i ll-i dan salah ketik. Selama tiga generasi, Bernoullis menghasilkan delapan akademisi berbakat secara matematis yang, di antaranya, berkontribusi pada dasar matematika dan fisika terapan.

Leon Bernoulli adalah seorang dokter di Antwerp, yang pada saat itu berada di Belanda Spanyol. Dia meninggal pada tahun 1561, dan pada tahun 1570 anaknya, Jacob, beremigrasi ke Frankfurtam Main untuk melarikan diri dari penganiayaan orang-orang Huguenot Spanyol. Cucu Yakub, pedagang rempah-rempah, juga bernama Jacob, pindah ke Basel, Swiss pada tahun 1620, dan diberi kewarganegaraan Swiss. Putranya, Niklaus (1623-1708), cicit Leon, menikahi Margarethe Schönauer.

Bernoulli senior adalah salah seorang keluarga Protestan yang mengungsi dari Antwerp pada tahun 1583, menyelamatkan diri dari pembantaian orang Katholik. Tempat persinggahan pertama adalah Frankfurt, sebelum pindah ke Swiss dan menetap di Basel. Cikal-bakal dinasti Bernoulli dimulai ketika Nicolaus menikah dengan salah seorang keturunan dari keluarga terpandang di Basel dan menjadi pedagang rempah-rempah. 

Nicolaus senior adalah seorang pedagang. Ketiga anak lelakinya semua menikah dengan putri-putri pedagang. Semua itu mampu membuat Nicolaus menjadi seorang pedagang besar dan memberinya banyak keberuntungan. Profesi pedagang keluarga Bernoulli, kemudian disusul oleh profesi dalam bidang obat-obatan. Bakat matematik yang keluar dari keluarga pedagang ini muncul secara tiba-tiba.

a.      Jacob Bernoulli ( 1654 – 1705)

Jacob Bernoulli (juga dikenal sebagai James atau Jacques). Ia lahir pada  27 Desember 1654 di Basel, Swiss ia adalah salah satu dari banyak matematikawan terkemuka di keluarga Bernoulli. Dia adalah pendukung awal kalkulus Leibnizian dan telah memihak Leibniz selama kontroversi kalkulasi Leibniz-Newton. Dia dikenal karena banyaknya kontribusi terhadap kalkulus, dan bersama dengan saudaranya Johann, adalah salah satu pendiri kalkulus variasi. Dia juga menemukan fundamental matematis konstan e. Namun, kontribusinya yang paling penting adalah di bidang probabilitas, di mana ia mendapatkan versi pertama hukum dalam jumlah besar dalam karyanya Ars Conjectandi. Namun bertentangan dengan keinginan orangtuanya, ia juga belajar matematika dan astronomi.

Bernoulli kembali ke Swiss dan mulai mengajar mekanik di Universitas Basel dari tahun 1683. Pada tahun 1684 dia menikahi Judith Stupanus. Dan mereka memiliki dua anak. Selama dekade ini, ia juga memulai karir penelitian yang subur. Perjalanannya memungkinkan dia untuk membangun korespondensi dengan banyak ahli matematika dan ilmuwan terkemuka di masanya, yang dia pertahankan sepanjang hidupnya. Selama masa ini, dia mempelajari penemuan baru dalam matematika, termasuk ratiociniis Christiaan Huygens di aleae ludo , suplemen Descartes ' Geometrie dan Frans van Schooten darinya. Dia juga mempelajari Isaac Barrow dan John Wallis, yang menyebabkan minatnya pada geometri yang sangat kecil. Terlepas dari ini, antara 1684 dan 1689, banyak hasil yang membuat Ars Conjectandi ditemukan.

Dia diangkat sebagai guru besar matematika di Universitas Basel pada tahun 1687, tetap dalam posisi ini selama sisa hidupnya. Pada saat itu, ia mulai mengajar saudaranya Johann Bernoulli tentang topik matematika. Kedua bersaudara tersebut mulai mempelajari kalkulus seperti yang disampaikan oleh Leibniz pada makalahnya pada kalkulus diferensial pada " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " yang diterbitkan di Acta Eruditorum . Mereka juga mempelajari publikasi von Tschirnhaus. Harus dipahami bahwa publikasi Leibniz tentang kalkulus sangat tidak jelas bagi matematikawan pada masa itu dan Bernoullis adalah orang pertama yang mencoba memahami dan menerapkan teori Leibniz.

Jacob dengan saudaranya Johann, ahli pertama yang menggunakan kalkulus sebagai alat untuk menyelesaikan berbagai soal matematika. Pada tahun 1687 – 1705 Jacob menjabat ketua Universitas Basel. Pada tahun 1697, Johan Bernoulli menjadi guru besar di Universitas Groningen. Setelah Jacob meninggal tahun 1705, ia menggantikannya menjadi ketua Universitas Basel. Penemuan Jacob adalah pemakaian koordinat polar untuk menentukan jari–jari kelengkungan datar, menyelidiki sifat-sifat kurva cotangent, kurva datar derajat tinggi dan penemuan kurva isochrone yang diterbitkan dalam majalah Acta Eruditorium tahun 1690 dan memperkenalkan istilah integral dalam kalkulus. Didalam teori peluang, penemuannya disebut distribusi Bernoulli, dalam aljabar dikenal bilangan Bernoulli dan polinomial Bernoulli. Pada tahun 1696, Jacob dan Leibniz mengganti istilah kalkulus summatoris menjadi kalkulus integralis.

Kontribusi penting pertama Jacob Bernoulli adalah sebuah pamflet tentang paralel logika dan aljabar yang diterbitkan pada tahun 1685, menghasilkan kemungkinan pada tahun 1685 dan geometri pada tahun 1687. Hasil geometrinya memberikan sebuah konstruksi untuk membagi segitiga menjadi empat bagian yang sama dengan dua garis tegak lurus.

Pada tahun 1689 dia telah menerbitkan karya penting dalam rangkaian tak terbatas dan menerbitkan undang-undangnya dalam jumlah besar dalam teori probabilitas. Jacob Bernoulli menerbitkan lima risalah pada rangkaian tak terbatas antara 1682 dan 1704 Dua yang pertama berisi banyak hasil, seperti hasil mendasar yang{\ Displaystyle \ sum {\ frac {1} {n}}}. Divergen, yang menurut Bernoulli baru tapi sebenarnya dibuktikan oleh Mengoli 40 tahun sebelumnya. Bernoulli tidak dapat menemukan formulir tertutup untuknya{\ Displaystyle \ sum {\ frac {1} {n ^ {2}}}}, Namun ia menunjukkan bahwa ia berkumpul untuk batas yang terbatas kurang dari 2. Euler adalah orang pertama yang menemukan jumlah seri ini pada tahun 1737. Bernoulli juga mempelajari seri eksponensial yang keluar dari pemeriksaan bunga majemuk.

Pada bulan Mei 1690 dalam sebuah makalah yang diterbitkan di Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli menunjukkan bahwa masalah penentuan isochrone sama dengan memecahkan persamaan diferensial nonlinier orde pertama. The isochrone, atau kurva dari deret konstan, adalah kurva di mana partikel akan turun di bawah gravitasi dari titik manapun ke titik paling bawah pada waktu yang sama, tidak peduli apa titik awalnya. Ini telah dipelajari oleh Huygens pada tahun 1687 dan Leibniz pada tahun 1689. Setelah menemukan persamaan diferensial, Bernoulli kemudian menyelesaikannya dengan apa yang sekarang kita sebut sebagai pemisahan variabel. Makalah Jacob Bernoulli tahun 1690 penting untuk sejarah kalkulus, karena istilah integral muncul untuk pertama kalinya dengan makna integrasinya. Pada 1696 Bernoulli memecahkan persamaan, sekarang disebut persamaan diferensial Bernoulli.{\ Displaystyle y '= p (x) y + q (x) y ^ {n}.}

Jacob Bernoulli juga menemukan metode umum untuk menentukan evolutes kurva sebagai amplop lingkaran kelengkungannya. Dia juga menyelidiki kurva kaustik dan khususnya dia mempelajarikurva parabola yang terkait ini, spiral logaritmik dan episiklik sekitar tahun 1692. Kelekatan Bernoulli pertama kali dikemukakan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1694. Pada tahun 1695 dia menyelidiki masalah jembatan gantung yang mencari kurva yang dibutuhkan Sehingga berat geser sepanjang kabel selalu membuat jembatan gantung seimbang.

Karya Jacob Bernoulli yang paling orisinil adalah Ars Conjectandi yang diterbitkan di Basel pada tahun 1713, delapan tahun setelah kematiannya. Pekerjaan itu tidak lengkap pada saat kematiannya tapi masih merupakan karya yang sangat penting dalam teori probabilitas. Dalam buku Bernoulli mengulas karya orang lain tentang probabilitas, khususnya karya van Schooten, Leibniz, dan Prestet. Nomor Bernoulli muncul di buku ini dalam diskusi tentang serial eksponensial. Banyak contoh diberikan pada seberapa banyak orang berharap bisa menang dalam berbagai permainan kebetulan. Istilah uji coba Bernoulli dihasilkan dari karya ini. Ada pemikiran menarik tentang probabilitas sebenarnya:

... probabilitas sebagai tingkat kepastian yang terukur; Kebutuhan dan kesempatan; Harapan moral versus matematis; A priori probabilitas posteriori; Harapan menang saat pemain terbagi menurut ketangkasan; Memperhatikan semua argumen yang tersedia, penilaian mereka, dan evaluasi yang dapat dihitung; Hukum jumlah besar ...

Jacob berkolaborasi dengan saudaranya dalam berbagai aplikasi kalkulus. Namun, suasana kolaborasi antara kedua bersaudara berubah menjadi persaingan karena jenius matematika Johann sendiri mulai matang, dan keduanya saling menyerang, dan menimbulkan tantangan matematika yang sulit untuk menguji kemampuan masing-masing. Pada 1697, hubungan telah benar-benar rusak.

Penemuan konstanta matematika e

Ars conjectandi , 1713 (Milano, Fondazione Mansutti).

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n}}

Pada tahun 1683 Bernoulli menemukan e konstan dengan mempelajari sebuah pertanyaan tentang minat majemuk yang mengharuskannya menemukan nilai dari ungkapan berikut (yang sebenarnya adalah e ):

Salah satu contohnya adalah akun yang dimulai dengan $ 1,00 dan membayar bunga 100 persen per tahun. Jika bunga dikreditkan sekali, pada akhir tahun, nilainya adalah $ 2,00; Tapi jika bunga dihitung dan ditambahkan dua kali di tahun ini, $ 1 dikalikan 1,5 kali, menghasilkan $ 1,00 × 1,5 ² = $ 2,25. Compounding kuartalan menghasilkan $ 1,00 × 1,25 ⁴ = $ 2,4414 ..., dan hasil peracikan bulanan $ 1,00 × (1,0833 ...) ¹² = $ 2.613035 ....

Bernoulli melihat bahwa urutan ini mendekati batas ( kekuatan yang diminati ) untuk interval peracikan yang lebih banyak dan lebih kecil. Peracikan hasil mingguan $ 2.692597 ..., sementara penggabungan hasil harian $ 2.714567 ..., hanya dua sen lebih. Dengan menggunakan n sebagai jumlah interval compounding, dengan bunga 100% / n pada setiap interval, batas untuk n besar adalah bilangan yang kemudian disebut euler e ; Dengan compounding terus menerus, nilai akun akan mencapai $ 2.7182818 .... Lebih umum lagi, sebuah akun yang dimulai pada $ 1, dan menghasilkan (1+ R ) dolar dengan bunga sederhana, akan menghasilkan dolar dengan kontraksi terus-menerus.

b.      Johann Bernoulli (1667-1748)

Johann Bernoulli (potret oleh Johann Rudolf Huber sekitar tahun 1740)

Johann Bernoulli (juga dikenal sebagai Jean atau John; 6 Agustus 1667 - 1 Januari 1748) ia adalah seorang matematikawan Swiss dan merupakan salah satu dari banyak matematikawan terkemuka di keluarga Bernoulli. Dia dikenal karena kontribusinya terhadap kalkulus yang sangat kecil dan mendidik Leonhard Euler di masa muda nya

Johann lahir di Basel, putra Nicolaus Bernoulli, seorang apoteker, dan istrinya, Margaretha Schonauer dan mulai belajar kedokteran di Universitas Basel. Ayahnya menginginkan agar dia belajar bisnis sehingga dia bisa mengambil alih perdagangan rempah-rempah keluarga, namun Johann Bernoulli tidak menyukai bisnis dan meyakinkan ayahnya untuk mengizinkannya untuk belajar kedokteran. Namun, Johann Bernoulli juga tidak menikmati pengobatan dan mulai belajar matematika di sisinya bersama kakak laki-lakinya Jacob. Sepanjang pendidikan Johann Bernoulli di Universitas Basel, saudara Bernoulli bekerja sama untuk menghabiskan sebagian besar waktunya untuk mempelajari kalkulus kecil yang baru ditemukan. Mereka termasuk di antara matematikawan pertama yang tidak hanya mempelajari dan memahami kalkulus tapi juga menerapkannya pada berbagai masalah

Meskipun Jacob dan Johann bekerja sama sebelum Johann lulus dari Universitas Basel, tak lama setelah ini, keduanya mengembangkan hubungan yang cemburu dan kompetitif. Johann cemburu pada posisi Jacob dan keduanya sering berusaha untuk saling mengalahkan. Setelah kematian Yakub, kecemburuan Johann beralih ke putranya yang berbakat, Daniel. Pada tahun 1738 dua ayah-anak hampir secara bersamaan menerbitkan karya terpisah tentang hidrodinamika. Johann Bernoulli berusaha untuk mendahulukan anaknya dengan sengaja mendahului pekerjaannya dua tahun sebelum anaknya.

Setelah lulus dari Universitas Basel Johann Bernoulli pindah untuk mengajar persamaan diferensial. Kemudian, pada tahun 1694, Johann menikahi Dorothea Falkner, anak perempuan seorang Alderman dari Basel. Dia adalah ayah dari Nicolaus II Bernoulli, Daniel Bernoulli dan Johann II Bernoulli dan paman Nicolaus I Bernoulli. Setelah menerima jabatan sebagai profesor matematika di Universitas Groningen. Atas permintaan ayah mertua Johann Bernoulli, Johann Bernoulli memulai perjalanannya kembali ke kota kelahirannya di Basel pada tahun 1705. Tepat setelah berangkat dalam perjalanan dia mengetahui kematian saudara laki-lakinya sampai TBC. Johann Bernoulli telah merencanakan untuk menjadi profesor bahasa Yunani di Universitas Basel setelah kembali namun mampu mengambil alih posisi sebagai profesor matematika, posisi mantan kakaknya. Sebagai murid kalkulus Leibniz, Johann Bernoulli memihaknya pada tahun 1713 dalam perdebatan Newton Leibniz mengenai siapa yang layak mendapat kredit karena penemuan kalkulus. Johann Bernoulli membela Leibniz dengan menunjukkan bahwa dia telah memecahkan beberapa masalah dengan metodenya yang gagal diselesaikan Newton. Johann Bernoulli juga mempromosikan teori pusaran Descartes mengenai teori gravitasi Newton . Ini akhirnya menunda penerimaan teori Newton di benua Eropa.

Bernoulli dipekerjakan oleh Guillaume de l'Hôpital  untuk mengajar matematika. Bernoulli dan l'Hôpital menandatangani kontrak yang memberi l'Hôpital hak untuk menggunakan penemuan Bernoulli sesuai keinginannya. L'Hôpital menulis buku teks pertama tentang kalkulus yang sangat kecil, Analisis terhadap Petugas Infiniment mencurigai l'Intelligence des Lignes Courbes pada tahun 1696, yang terutama terdiri dari karya Bernoulli, termasuk yang sekarang dikenal sebagai peraturan l'Hôpital.

Selanjutnya, dalam surat kepada Leibniz, Varignon dan lainnya, Bernoulli mengeluh bahwa dia tidak mendapat cukup pujian atas kontribusinya, terlepas dari kenyataan bahwa l'Hôpital mengakui sepenuhnya hutangnya dalam kata pengantar bukunya:

Je reconnais devoir beaucoup aux lumières de MM. Bernoulli, surtout à celles du jeune (Jean) présentement professeur à Groningue. Je saya suis servi sans façon de leurs découvertes et de celles de M. Leibniz. C'est pourquoi je consens qu'ils en revaredquent tout ce qu'il leur plaira, saya hormati dengan hormat kepada saya biar saya laisser.

Saya menyadari bahwa saya berutang banyak pada wawasan Tuan Bernoulli, terutama bagi orang muda (John), yang saat ini seorang profesor di Groningen. Secara tidak sengaja saya menggunakan penemuan mereka, begitu juga dengan Mr. Leibniz. Untuk alasan ini saya setuju bahwa mereka mengklaim sebanyak mungkin kredit, dan akan puas dengan apa yang akan mereka setujui untuk meninggalkan saya.

Ia bersama muridnya de I’hospital menyusun buku teks kalkulus yang pertama. Diperkenalkannya bentuk tak tertentu. Ia menemukan trayektori ortogonal dari berbagai kurva, menguraikan sifat-sifat kurva cycloida,  menyelidiki kurva brachystochrone dan kurva tautochrone. Johan juga menulis persamaan diferensial dan teori probabilitas.

Johann meninggal karena tenggelam dan ia meninggalkan 3 putra yaitu Nicolaus, Daniel dan Johann II yang juga ahli matematika.

Dia adalah putra Nicolaus Bernoulli, pelukis dan Alderman dari Basel. Pada 1704 ia lulus di University of Basel di bawah Jakob Bernoulli dan memperoleh gelar PhD lima tahun kemudian (tahun 1709) dengan sebuah karya tentang teori probabilitas dalam undang-undang. Tesisnya berjudul Dissertatio Inauguralis Mathematico-Juridica de Usu Artis Conjectandi di Jure .

Dia terpilih sebagai Fellow dari Royal Society of London pada bulan Maret 1714. Sumbangannya yang paling penting dapat ditemukan dalam surat-suratnya, khususnya kepada Pierre Rémond de Montmort. Dalam surat-surat ini, ia memperkenalkan Paradoks St. Petersburg secara khusus. Dia juga berkomunikasi dengan Gottfried Wilhelm Leibniz dan Leonhard Euler.

c.       Nicolaus Bernoulli (1687-1759)

Nicolaus Bernoulli lahir pada 21 Oktober1759.  Ia   adalah keponakan Jacob Bernoulli dan Johann Bernoulli, dua matematikawan terkenal lainnya. Pendidikan awalnya melibatkan belajar matematika dengan pamannya. Sebenarnya Jacob Bernoulli yang mengawasi gelar Master Nicolaus di Universitas Basel, yang dianugerahi penghargaannya pada tahun 1704. Lima tahun kemudian dia mendapat gelar doktor untuk disertasi yang mempelajari penerapan teori probabilitas untuk beberapa pertanyaan hukum tertentu.

Pada tahun 1712, Bernoulli berkeliling Eropa mengunjungi Belanda, Inggris dan Prancis. Di Prancis ia bertemu Montmort dan dua matematikawan menjadi teman dekat dan berkolaborasi dalam pertanyaan matematika dalam korespondensi yang panjang.

Bernoulli diangkat ke kursi Galileo di Padua pada tahun 1716. Di sana ia mengerjakan geometri dan persamaan diferensial. Pada 1722, dia meninggalkan Italia dan kembali ke kota asalnya untuk mengambil alih logika di Universitas Basel. Setelah 9 tahun, dia diangkat menjadi ketua undang-undang. Selain penunjukan akademis ini, dia melakukan 4 periode sebagai rektor universitas.

Bernoulli adalah seorang matematikawan berbakat namun tidak terlalu produktif. Akibatnya, pencapaian terpentingnya disembunyikan sepanjang korespondensi, yang terdiri dari sekitar 560 item. Dari karya Montmort kita dapat melihat bahwa Bernoulli merumuskan beberapa masalah dalam teori probabilitas, khususnya masalah yang sekarang dikenal sebagai masalah St. Petersburg. Nicolaus juga berhubungan dengan Leibniz selama tahun 1712 sampai 1716. Dalam surat-surat ini Nicolaus membahas pertanyaan tentang konvergensi.

Nicolaus juga berhubungan dengan Euler. Dalam surat-surat ini, dia mengkritik penggunaan seri berbeda dari Euler. Dalam korespondensi ini, dia juga menunjukkan bahwa jumlah dari 1 / n ² adalah pi 2/6, yang telah membingungkan Leibniz dan Jacob Bernoulli.

Masalah lainnya dia bekerja pada persamaan diferensial yang terkait. Dia mempelajari masalah lintasan ortogonal, memberikan kontribusi penting dengan konstruksi lintasan ortogonal ke keluarga kurva, dan dia membuktikan persamaan derivatif parsial orde dua campuran. Dia juga memberikan kontribusi signifikan dalam mempelajari persamaan Riccati.

Bernoulli menerima banyak penghargaan atas karyanya. Misalnya dia terpilih sebagai anggota Akademi Berlin pada tahun 1713, anggota the Royal Society of London pada tahun 1714, dan anggota Akademi Bologna pada tahun 1724.

d.      Nicolaus II Bernaulli (1695-1726)

Nicolaus II Bernoulli, alias Niklaus Bernoulli, Nikolaus Bernoulli, (6 Februari 1695, Basel, Swiss - 31 Juli 1726, St. Petersburg, Rusia) adalah seorang matematikawan Swiss seperti ayahnya Johann Bernoulli dan salah satu saudara laki-lakinya, Daniel Bernoulli . Dia adalah salah satu dari banyak matematikawan terkemuka di keluarga Bernoulli .

Nicolaus bekerja terutama pada kurva, persamaan diferensial, dan probabilitas. Dia adalah teman dan kontemporer Leonhard Euler, yang belajar di bawah ayah Nicolaus. Dia juga berkontribusi terhadap dinamika fluida.

Dia adalah kakak Daniel Bernoulli , yang juga mengajar matematika. Bahkan di masa mudanya ia telah belajar beberapa bahasa. Dari usia 13, ia belajar matematika dan hukum di Universitas Basel. Pada tahun 1711 ia menerima Master of Philosophy; Pada tahun 1715 ia menerima gelar Doktor dalam bidang Hukum. Pada 1716-17 dia adalah seorang tutor pribadi di Venesia. Dari 1719 ia memiliki Ketua Matematika di Universitas Padua, sebagai penerus Giovanni Poleni. Dia menjabat sebagai asisten ayahnya, di antara daerah-daerah lain, dalam korespondensi mengenai sengketa prioritas antara Isaac Newton dan Leibniz, dan juga dalam perselisihan prioritas antara ayahnya dan ahli matematika Inggris. Pada tahun 1720 ia mengajukan masalah lintasan ortogonal timbal balik, yang dimaksudkan sebagai tantangan bagi Newtonian Inggris. Dari 1723 dia adalah seorang profesor hukum di Berner Oberen Schule. Pada 1725 dia bersama dengan saudaranya Daniel, yang dengannya dia tur Italia dan Prancis saat ini, diundang oleh Peter the Great ke Akademi St. Petersburg yang baru saja didirikan . Delapan bulan setelah pengangkatannya dia terjatuh dengan demam dan meninggal. Jabatan profesornya digantikan oleh Leonhard Euler, 1727, yang direkomendasikan oleh Bernoulli brothers. Kematiannya yang awal memotong karir yang menjanjikan.

e.       Daniel Bernoulli (1700-1782)

           

Daniel Bernoulli lahir  8 Februari 1700 di Groningen, Belanda dan menjadi keluarga matematikawan terkemuka. Keluarga Bernoulli berasal dari Antwerp, waktu itu di Belanda Spanyol, namun beremigrasi untuk menghindari penganiayaan orang-orang Huguenot Spanyol. Setelah beberapa saat di Frankfurt, keluarga tersebut pindah ke Basel, di Swiss.

Daniel Bernoulli adalah anak dari Johann Bernoulli, seorang ahli matematika di kota Groningen.  Kakaknya yang bernama Nicolaus (II) Bernoulli dan pamannya, Jacob Bernoulli juga merupakan ahli matematika. Keadaan ini menimbulkan persaingan dan iri hati di dalam keluarga. Pada awalnya, ayahnya menginginkan Daniel untuk menjadi pedagang atau bekerja di bidang bisnis. Pada usia 13 tahun, Daniel mempelajari logika dan filosofi di Universitas Basel. Namun, saat berkuliah dia tetap mempelajari kalkulus dari ayah dan kakaknya. Daniel juga mempelajari ilmu kedokteran dan meraih gelar doktoral di bidang tersebut atas aplikasi matematika fisik di dalam dunia kedokteran yang ia kemukakan.

Daniel adalah putra Johann Bernoulli (salah satu "pengembang awal" kalkulus), keponakan Jacob Bernoulli (yang "adalah orang pertama yang menemukan teori probabilitas "). Ia memiliki dua saudara laki-laki, Niklaus dan Johann II. Daniel Bernoulli digambarkan oleh WW Rouse Ball sebagai "sejauh yang paling muda dari Bernoullis muda". Dia dikatakan memiliki hubungan buruk dengan ayahnya. Setelah keduanya masuk dan mengikat untuk tempat pertama dalam sebuah kontes ilmiah di Universitas Paris, Johann, tidak dapat menanggung "rasa malu" dibandingkan Daniel yang sama, melarang Daniel dari rumahnya. Johann Bernoulli juga menjiplak beberapa gagasan kunci dari buku Daniel Hydrodynamica dalam bukunya Hydraulica yang telah dia sebutkan sebelumnya sebelum Hydrodynamica. Meskipun usaha Daniel untuk melakukan rekonsiliasi, ayahnya menanggung dendam sampai kematiannya.

Sekitar usia sekolah, ayahnya, Johann, mendorongnya untuk belajar bisnis, mendapat imbalan buruk saat menunggu seorang matematikawan. Namun, Daniel menolak, karena ia ingin belajar matematika. Dia kemudian menyerah pada keinginan ayahnya dan belajar bisnis. Ayahnya kemudian memintanya untuk belajar kedokteran, dan Daniel setuju dengan syarat ayahnya akan mengajarinya matematika secara pribadi, yang kemudian mereka lakukan untuk beberapa lama. Daniel belajar kedokteran di Basel, Heidelberg, dan Strasbourg, dan memperoleh gelar PhD dalam bidang anatomi dan botani pada tahun 1721.

Dia adalah teman kontemporer dan dekat Leonhard Euler. Dia pergi ke St. Petersburg pada tahun 1724 sebagai profesor matematika, namun sangat tidak bahagia di sana, dan sebuah penyakit sementara pada tahun 1733 memberinya alasan untuk meninggalkan St. Petersberg. Ia kembali ke Universitas Basel, di mana ia berturut-turut memegang kursi obat, metafisika , dan filsafat alam sampai kematiannya.

Pada bulan Mei, 1750 ia terpilih sebagai Fellow dari Royal Society.

f.       Johan II Bernoulli (1710-1790)

Johann II Bernoulli (18 Mei 1710, Basel - 17 Juli 1790, Basel, juga dikenal sebagai Jean ) adalah anak bungsu dari tiga putra Johann Bernoulli. Dia belajar hukum dan matematika, dan, setelah bepergian ke Prancis, selama lima tahun profesor fasih dalam universitas di kota asalnya. Pada 1736 ia dianugerahi hadiah dari Akademi Perancis untuk studinya yang sugestif tentang aether. Pada kematian ayahnya ia menggantikannya sebagai guru besar matematika di Universitas Basel. Dia tiga kali menjadi pesaing sukses untuk hadiah Academy of Sciences di Paris. Subjek hadiahnya adalah penyangga, propagasi cahaya, dan magnet. Dia menikmati pertemanan PLM de Maupertuis, yang meninggal di bawah atap rumahnya saat dalam perjalanan ke Berlin. Dia sendiri meninggal pada tahun 1790. Kedua putranya, Johann dan Jakob, adalah matematikawan terakhir yang tercatat dari keluarga Bernoulli .

Johann (II) Bernoulli adalah satu dari tiga putra Johann Bernoulli. Sebenarnya dia yang paling sukses dari ketiganya. Dia awalnya belajar hukum dan pada tahun 1727 dia memperoleh gelar doktor yurisprudensi.

Dia mengerjakan matematika baik dengan ayahnya maupun sebagai pekerja mandiri. Dia memiliki perbedaan yang luar biasa dalam memenangkan Hadiah Akademi Paris tidak kurang dari empat kesempatan terpisah. Atas kekuatan ini ia diangkat ke kursi ayahnya di Basel saat Johann Bernoulli meninggal dunia.

Namun, mengutip [ 1 ]: - 

... setelah itu produksi matematisnya menyusut menjadi makalah akademis dan risalah sementara, meski ia hidup hampir setua ayahnya. Namun, rasa malu dan konstitusi lemahnya mencegahnya terlibat dalam korespondensi ilmiah yang luas ( sekitar 900 item ) dan dari melanjutkan publikasi tersebut, dalam empat jilid, dari ayahnya, Opera Omnia. Dia mempersonifikasikan kejeniusan matematika kota asalnya pada paruh kedua abad kedelapan belas.

            Pendidikan utamanya di bidang hukum, namun ia berbakat dalam matematika dan mempelajari tentang panas dan cahaya yang kemudian menjadi guru besar matematika di Basel.

g.      Johan III Bernoulli (1744-1807)

            Johan III Bernoulli 4 November 1744 Basel, ia adalah cucu dari Johan Bernoulli, dia dikenal di seliuruh dunia sebagai anak ajaib. Ia belajar di Basel dan Neuchatel, dan ketika 13 Tahun mengambil gelar Doktor dalm bidang filsafat. Saat  berusia 14 ia mendapat gelar Master Yurisprudensi. Pada usia 19 tahun ia ditunjuk sebagai Astom kerajaan Berlin. Setahun kemudian, dia menata ulang Observatorium Astronomi di akademi Berlin. Beberapa tahun kemudian, ia mengunjugi Jeman, Prancis dan Inggris dan kemudian Italia, Rusia, dan Polandia. Ranking perjalanannya memiliki kepentingan budaya dabn sejarah yang besar (1772-1776, 1777-1779, 1781). Dia menulis tentang orang Kashudia.

Johann III Bernoulli menulis sejumlah karya Astronomi, melaporkan pengamatan Astronomi dan perhitungannya, namun tidak penting. Anehnya, sumbangan yang paling penting adalah laporan perjalalanannya di Jerman yang memiliki dampak historis di bidang matematika dia mengerjakan probabilitas, recurring decimals dant he theory of equations. Namun, dia mempublikasikan jurnal leipzig untuk matematika murni dan terapan antara tahun 1776 dan 1789.

2.  ABRAHAM DE MOIVRE. 

Abraham de Moivre ( Pengucapan bahasa Prancis: [ abʁaam də mwavʁ]; 26 Mei 1667 - 27 November 1754) adalah seorang matematikawan Prancis yang dikenal dengan formula Moivre, sebuah formula yang menghubungkan bilangan kompleks dan trigonometri, dan untuk pekerjaannya pada distribusi normal dan Teori probabilitas Dia adalah teman Isaac Newton, Edmond Halley, dan James Stirling. Meskipun dia menghadapi penganiayaan agama, dia tetap menjadi "orang Kristen yang tabah" sepanjang hidupnya. Di antara rekan-rekannya Huguenot yang diasingkan di Inggris, dia adalah seorang kolega editor dan penerjemah Pierre des Maizeaux .

De Moivre menulis sebuah buku tentang teori probabilitas, The Doctrine of Chances, dikatakan telah dihargai oleh penjudi. De Moivre pertama kali menemukan formula Binet, ekspresi bentuk tertutup untuk angka Fibonacci yang menghubungkan kekuatan n dari rasio emas φ ke angka Fibonacci ke- n. Dia juga adalah orang pertama yang mendalilkan teorema limit sentral, sebuah landasan teori probabilitas.

Ia menulis buku dengan judul Miscellanea Analitica berisi deret bolak balik, teori peluang dan trigonometri analitik juga memberikan andil dalam teori anuitas dan matematika asuransi.

De Moivre terkenal dengan karyanya untuk integral peluang. Dan dasar kurva frekuensi normal yang sangat penting bagi pelajaran statistika. Dinamakan rumus Stirling yang menggemparkan 

(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx

Dikenal dengan rumus De Moivre dan ditemukan di setiap  buku  teori persamaan, dengan kasus dimana n adalah bilangan bulat positif. Rumus ini menjadi dasar dalam trigonometri analitik.

yang dikembangkan abraham de moivre

·         KURVA NORMAL

Distribusi normal Disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.

Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnyadistribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakanpengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.

SEJARAH KURVA NORMAL

Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre dalam artikelnya pada tahun 1733 sebagai pendekatan distribusi binomial untuk n besar. Karya tersebut dikembangkan lebih lanjut oleh Pierre Simon de Laplace, dan dikenal sebagai teorema Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu eksperimen. Metode kuadrat terkecil diperkenalkan oleh Legendre pada tahun 1805. Sementara itu Gauss mengklaim telah menggunakan metode tersebut sejak tahun 1794 dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi normal.

Istilah kurva lonceng diperkenalkan oleh Jouffret pada tahun 1872 untuk distribusi normal bivariat. Sementara itu istilah distribusi normal secara terpisah diperkenalkan oleh Charles S. Peirce, Francis Galton, dan Wilhelm Lexis sekitar tahun 1875. Terminologi ini secara tidak sengaja memiliki nama sama.

Ciri Ciri Distribusi Normal

·         Memiliki parameter µ dan σ yang masing masing menentukan lokasi dan bentuk distribusi

·         Kurvanya mempunyai puncak tunggal

·         Rata-rata terletak di tengah distribusi dan distribusinya simetris di sekitar garis tegak lurus yang ditarik melalui rata-rata

·         Total luas daerah di bawah kurva normal adala 1 (hal ini berlaku untuk seluruh distribuso probabilitas kontinu)

·         Kedua ekor kurva memanjang tak berbatas dan pernah memotong sumbu horizontal

·         Kurvanya berbentuk seperti lonceng atau genta

Simpangan baku atau standar deviasi σ menentukan lebarnya kurva. Makin kecil σ bentuk kurva semakin runcing.

Kurva normal adalah satu model distribusi dari sejumlah kemungkinan distribusi. Hal ini diseb abkan karena penggunaan konsep kurva normal sangat luas dan dijadikan sebagai alat yang sangat penting dalam pengembangan suatu teori, konsep kurva normal juga memberikan status khusus dalam pengembangan kaidah-kaidah ilmiah. Kurva normal bukan hanya satu kurva, melainkan mempunyai sejumlah kurva yang tidak terbatas yang mungkin dapat dibuat, dan semua itu dideskripsikan dengan suatu persamaan aljabar berikut.

dimana
π = 3,1416
e = 2,7183
µ = rata-rata
σ = simpangan baku

Persamaan di atas bila dihitung dan diplot pada grafik akan terlihat seperti pada Gambar 1 berikut.

Gambar 1. kurva distribusi normal umum

Bentuk kurva normal itu sendiri berbeda tergantung dari nilai µ dan σ2 nya. Jika nilai µ berharga positif maka kurva akan bergeser ke kanan dan jika bernilai negatif maka kurva akan bergeser ke kiri dari titik X = 0. Jika nilai σ2 bernilai semakin besar maka kurva normal akan semakin landai dan jika nilai σ2 bernilai semakin kecil maka kurva normal akan semakin curam. Berikut perbandingan kurvanya

Sifat-sifat penting distribusi normal adalah sebagai berikut:

o    Grafiknya selalu berada di atas sumbu x

o    Bentuknya simetris pada x = µ

o    Mempunyai satu buah modus, yaitu pada x = µ

o    Luas grafiknya sama dengan satu unit persegi, dengan rincian

§  Kira-kira 68% luasnya berada di antara daerah µ – σ dan µ + σ

§  Kira-kira 95% luasnya berada di antara daerah µ – 2σ dan µ + 2σ

§  Kira-kira 99% luasnya berada di antara daerah µ – 3σ dan µ + 3σ

Membuat kurva normal umum bukanlah suatu pekerjaan yang mudah. Lihat saja rumus untuk mencari fungsi densitasnya (nilai pada sumbu Y) begitu rumit. Oleh karena itu, orang tidak banyak menggunakannya.
Orang lebih banyak menggunakan distibusi normal baku. Kurva distribusi normal baku diperoleh dari distribusi normal umum dengan cara transformasi nilai x menjadi nilai z, dengan formula sbb:

Kurva distribusi normal baku disajikan pada Gambar 2 berikut ini.

Gambar 2. Kurva distribusi normal baku

Kurva distribusi normal baku lebih sederhana dibanding kurva normal umum. Pada kurva distribusi normal baku, nilai µ = 0 dan nilai σ=1, sehingga terlihat lebih menyenangkan. Namun, sifat-sifatnya persis sama dengan sifat-sifat distribusi normal umum.
Untuk keperluan praktis, para ahli statistika telah menyusun Tabel distribusi normal baku dan tabel tersebut dapat ditemukan hampir di semua buku teks Statistika. Tabel distribusi normal bakui disebut juga dengan Tabel Z dan dapat digunakan untuk mencari peluang di bawah kurva normal secara umum, asal saja nilai µ dan σ diketahui. Sebagai catatan nilai µ dan σ dapat diganti masing-masing dengan nilai dan S.

·         PELUANG

Selama kurang lebih lima puluh tahun teori peluang elementer tidak mengalami perkembangan. Kemudian teori peluang sederhana dikembangkan dan diperkaya oleh peneliti-peneliti seperti, Jakob Bernoulli (1654-1705) dan Abraham de Moivre (1667-1754).

Pada periode akhir dari tahapan ini, yaitu antara 1718 dan 1738, de Moivre berusaha untuk memperbaiki dan meningkatkan hasil-hasil yang telah dicapai oleh bernoulli dengan berhasil membuktikan pendekatan distribusi normal terhadap distribusi binomial untuk peluang sukses yang bersifat umum. Dimana ditemukan teorema limit pusat yang pertama. Selain itu, dalam penemuan de Moivre adalah pendekatan distribusi normal yang dikembangkan hanya sebagai alat untuk menghitung harga peluang binomial dan bukan untuk mempelajari fungsi padat peluang normal. Semantara hasil karya De Moivre tersebut diperluaskan dan penggambangannya diarah untuk mencapai penyalesaian yang lengkap dari apa yang  kita kenal sekarang sebagai teori peluang klasik.

3.     BROOK TAYLOR (1685-1731) 

Brook Taylor lahir pada 18 Agustus 1685 Inggris. Ia adalah seorang ahli matematika dari inggris. Pada tahun  1715, menerbitkan teorema untuk ekspansi suatu fungsi menjadi suatu polinom yang di kenal dengan Deret Taylor.

Brook Taylor lahir di Edmonton (pada waktu itu bernama Middlesex) dari Bifrons House, Kent, dan Olivia Tempest, dan juga putri dari seorang ayah bernama Sir Nicholas Tempest, Bart, Durham. Ia masuk St John College, Cambridge pada tahun 1701, dan mengambil jenjang bergelar LL.B. dan LL.D. pada tahun 1709 dan 1714. Setelah belajar matematika dengan John Machin dan John Keill, pada tahun 1708 ia memperoleh solusi yang luar biasa tentang masalah "pusat osilasi," yang, entah kenapa, tetap tidak dipublikasikan hingga Mei 1714, ketika klaimnya mengenai teori tersebut ditentang oleh Johann Bernoulli. Bukunya yang berjudul Methodus Incrementorum Directa et inversa (1715) berkontribusi besar dalam membuka cabang baru ilmu matematika, sekarang disebut "kalkulus perbedaan terbatas". Teorinya digunakan untuk menghitung gerak senar yang bergetar.  Dia juga telah membuat beberapa karya yang berisi rumus-rumus mengenai matematika yang dikenal dengan rumus Taylor. Rumus tersebut belum diketahui fungsinya sampai tahun 1772, JL Lagrange menyadari kekuatan dari rumus tersebut dan menyebutnya sebagai "fondasi utama dari kalkulus diferensial".

Pada tahun 1715, menerbitkan teorema untuk ekspansi suatu fungsi menjadi suatu polinom yang dikenal dengan deret Taylor. Pada tahun 1717, ia menggunakan rumus ekspansi itu untuk penyelesaian persamaan numerik. Karya lain dari Taylor adalah dalam teori perspektif yang menjadi pemakaian matematika foogrametri.

Brook Taylor's John Taylor adalah ayah dan ibunya bernama Olivia Topan. John Taylor adalah putra Taylor yang adalah Natheniel perekam dari Colchester dan anggota mewakili Bedfordshire di Oliver Cromwell's Majelis, sementara Olivia topan adalah putri Sir John topan. Brook ini, oleh karena itu, lahir dalam keluarga yang pada fringes dari kaum bangsawan dan tentu mereka cukup kaya.

Taylor sebagai keluarga yang mampu mereka mampu untuk memiliki tutor pribadi untuk mereka dan anak di rumah pendidikan fakta ini adalah semua yang dinikmati Brook sebelum masuk St John's College Cambridge pada 3 April 1703. Saat ini dia terbang yang baik dalam klasik dan matematika. Pada Cambridge Taylor menjadi sangat terlibat dengan matematika. Dia lulus dengan LL.B. namun di 1709 ini dengan waktu, dia sudah ditulis pertama itu penting matematika kertas (di 1708) meskipun tidak akan dipublikasikan sampai 1714. Kita tahu sesuatu dari rincian Taylor pemikiran berbagai masalah matematika dari huruf dia ditukarkan dengan Machin dan Keill sarjana di awal tahun.

Pada 1712 Taylor telah dipilih untuk Royal Society. Hal ini pada 3 April, dan jelas ia merupakan pemilihan berbasis lebih pada keahlian yang Machin, Keill dan lain-lain telah mengetahui bahwa Taylor, bukan pada hasil dipublikasikan. Misalnya Taylor wrote Machin pada 1712 untuk menyediakan solusi untuk masalah tentang Kepler 's kedua hukum gerakan planet. Juga pada 1712 Taylor diangkat ke panitia menyiapkan untuk mengadili pada apakah klaim dari Leibniz atau Newton untuk masakan yang telah kalkulus adalah benar.

Karya kami yang disebutkan di atas sebagai tertulis di 1708 dimuat dalam Transaksi filosofis dari Royal Society pada 1714. Karya memberikan solusi untuk masalah pusat osilasi dari tubuh, dan menghasilkan prioritas sengketa dengan Johann Bernoulli. Kami akan berkata sedikit lebih di bawah ini mengenai Taylor dan sengketa antara Johann Bernoulli. Kembali ke kertas, itu adalah mekanik kertas yang sangat bersandar pada Newton's pendekatan ke diferensial kalkulus.

Tahun 1714 juga menandakan tahun yang dipilih Sekretaris Taylor adalah untuk Royal Society. Ini adalah posisi yang diadakan Taylor dari 14 bulan Januari tahun sampai 21 Oktober 1718 ketika ia mengundurkan diri, sebagian untuk alasan kesehatan, sebagian karena kepada kurangnya minat dalam posisi agak menuntut. Selama periode yang Sekretaris Taylor adalah untuk Royal Society tidak menandai apa yang harus ia dianggap paling produktif matematis waktu. Dua buku yang muncul di 1715, Methodus incrementorum directa et inversa Linear Perspektif dan sangat penting dalam sejarah matematika. Edisi kedua akan muncul di 1717 dan 1719 masing-masing. Kami mendiskusikan isi ini bekerja secara rinci di bawah ini.

Taylor dibuat beberapa kunjungan ke Prancis. Ini sebagian dibuat untuk alasan kesehatan dan sebagian untuk mengunjungi teman dia telah ada. Dia bertemu Rémond Pierre de Montmort dan corresponded dengan dia tentang berbagai topik matematika setelah kedatangannya. Secara khusus mereka membahas serangkaian terbatas dan kemungkinan. Taylor juga dengan corresponded de Moivre pada kemungkinan dan sewaktu-waktu ada tiga cara-diskusi yang sedang berlangsung antara ini hebat matematika.

Antara 1712 dan 1724 Taylor dipublikasikan tiga belas artikel pada topik yang beragam sebagai menjelaskan dalam percobaan tindak kapiler, daya tarik dan termometer. Dia juga memberikan rekening percobaan untuk menemukan hukum atraksi magnetik (1715) dan peningkatan metode untuk approximating akar dari sebuah persamaan dengan memberikan metode baru untuk komputasi logaritma (1717). Hidupnya, Namun, menderita serangkaian pribadi tragedies sekitar awal 1721. Pada tahun itu ia menikah Miss Brydges dari Wallington di Surrey. Walaupun ia berasal dari keluarga yang baik, tidak sebuah keluarga dengan uang dan Taylor ayahnya sangat objected ke perkawinan. Hasilnya adalah bahwa hubungan antara Taylor dan ayahnya mogok dan tidak ada kontak antara bapak dan anak sampai 1723. Di tahun yang Taylor istri yang meninggal dalam persalinan. Anak, yang telah mereka pertama, juga meninggal.

Taylor ditambahkan ke cabang matematika baru sekarang disebut "kalkulus terbatas dari perbedaan", jadian integrasi dengan bagian, dan ditemukan yang dikenal merayakan seri Taylor sebagai perluasan. Ide-ide ini muncul dalam buku Methodus incrementorum directa et inversa dari 1715 yang disebutkan di atas. Bahkan pertama menyebutkan oleh Taylor dari versi saat ini adalah apa yang disebut Teorema Taylor muncul dalam surat yang ia menulis kepada Machin pada tanggal 26 Juli 1712. Dalam surat ini Taylor menjelaskan secara hati-hati di mana dia mendapatkan ide dari.

Ia, wrote Taylor, karena komentar yang dilakukan Machin di Anak's hamba ketika dia komentar tentang penggunaan "Sir Isaac Newton's series" untuk memecahkan Kepler 's masalah, dan juga menggunakan "Dr Halley's metode ekstraksi akar" yang jumlahnya banyak persamaan. Ada, dalam kenyataannya, dua versi Taylor Teorema diberikan pada 1715 kertas yang modern untuk melihat pembaca yang setara tetapi, penulis berpendapat akhir-motivasi yang berbeda. Taylor awalnya berasal versi yang terjadi sebagai Proposisi 11 sebagai sedemikian dari Halley 's metode approximating akar dari persamaan Kepler, tetapi segera ditemukan bahwa hal ini merupakan konsekuensi dari serangkaian Bernoulli. Ini adalah versi yang telah terinspirasi oleh hamba percakapan yang dijelaskan di atas. Kedua versi 2 terjadi sebagai akibat wajar untuk Proposisi 7 dan diajar sebagai metode perluasan solusi dari fluxional persamaan dalam seri terbatas.

Kami tidak harus memberikan kesan bahwa ini merupakan salah satu hasil Taylor adalah yang pertama untuk mengetahui. James Gregory, Newton, Leibniz, dan Johann Bernoulli de Moivre semua telah ditemukan varian dari Teorema Taylor. Gregorius, misalnya, bahwa

arctan x x = - ^x 3 / 3 x + ^{5 /} 5 - x ^{7 /} 7 + ...

Metode ini didiskusikan. Perbedaan Newton 's idea Taylor seri dan orang-orang yang akan dibahas dalam Gregory. Semua ini telah hebat matematika penemuan mereka secara mandiri, dan Taylor bekerja juga independen dari yang lain. Pentingnya Taylor Teorema tetap unrecognised sampai 1772 ketikaa Lagrange pengalaman itu prinsip dasar dari diferensial kalkulus. Istilah "Taylor seri" tampaknya telah digunakan untuk pertama kalinya oleh Lhuilier di 1786.

Ada ide penting lainnya yang terdapat di Methodus incrementorum directa et inversa dari 1715 yang tidak diakui sebagai penting pada saat itu. Termasuk solusi tunggal untuk persamaan diferensial, perubahan variabel rumus, dan cara yang terkait dengan produk turunan dari fungsi pada produk turunan dari fungsi terbalik. Terdapat juga akan didiskusikan pada getar string, bunga yang hampir pasti datang dari Taylor awal kasih musik.

Taylor juga tipu daya prinsip dasar dalam perspektif Linear Perspektif (1715). Edisi kedua memiliki judul yang berbeda, yang disebut prinsip-prinsip baru linear perspektif. Pekerjaan pertama memberikan perawatan umum dari vanishing poin. Taylor yang sangat matematika pendekatan kepada subjek dan tidak dibuat konsesi untuk seniman yang seharusnya mempunyai ide-ide yang penting bagi mereka. Pada saat itu sangat sulit untuk bahkan matematika untuk memahami Taylor hasil. Ungkapan "linear perspektif" telah jadian oleh Taylor ini dalam bekerja dan ia ditetapkan pada titik vanishing baris, tidak sejajar dengan pesawat dari gambar, sebagai titik di mana garis melalui sejajar dengan mata yang diberikan baris intersects pesawat dari gambar. Dia juga yang ditetapkan vanishing baris ke pesawat yang diberikan, tidak sejajar dengan pesawat dari gambar, sebagai persimpangan dari pesawat melalui mata sejajar dengan pesawat yang diberikan. Dia tidak mengada-istilah vanishing jalur dan vanishing baris, tetapi ia adalah salah satu yang pertama untuk menekankan pentingnya mereka. Utama dalam Teorema Taylor teori dari yang mipata perspektif adalah proyeksi yang tidak paralel garis lurus ke pesawat dari gambar lulus melalui persimpangan dan jalur vanishing.

Ada juga yang terbalik masalah yang menarik adalah untuk mencari posisi mata untuk melihat gambar dari sudut pandang yang dirancang seniman. Taylor adalah tidak pertama untuk membahas masalah ini terbalik tetapi dia tidak membuat kontribusi inovatif untuk teori masalah tersebut. Satu tentu dapat mempertimbangkan ini bekerja sebagai Meletakkan landasan untuk teori deskriptif dan projective geometri.

Taylor tantangan yang "non-Inggris yang hebat matematika" untuk mengintegrasikan tertentu diferensial. Satu harus melihat tantangan ini sebagai bagian dari argumen antara Newtonians dan Leibnitzians. Conte dalam membahas jawaban yang diberikan oleh Johann Bernoulli dan Giulio Fagnano untuk Taylor tantangan. Kami disebutkan di atas argumen antara Johann Bernoulli dan Taylor. Taylor, meskipun ia tidak memenangkan semua argumen, tentunya dapat sengketa dengan Johann Bernoulli pada istilah adil sama. Jones menjelaskan argumen ini di:

Jones juga menjelaskan bahwa dalam Taylor adalah seorang ahli matematika dari kedalaman jauh lebih besar daripada banyak telah diberikan kepadanya untuk kredit:

Sebuah studi Brook Taylor hidup dan bekerja menunjukkan bahwa kontribusi kepada pembangunan matematika adalah substansial lebih besar dari yang namanya attachment untuk satu Teorema akan menyarankan. Karyanya telah singkat dan sulit untuk mengikuti. Yang mengejutkan jumlah besar konsep yang menyentuh dia atas, pada awalnya dikembangkan, tetapi gagal untuk mengembangkan lebih lanjut lead satu untuk menyesal bahwa kesehatan, keluarga keprihatinan dan kesedihan, atau unassessable faktor lain, termasuk kekayaan dan dominasi orang tua, yang dibatasi matematis produktif dari itu relatif pendek.

Deret Taylor

Seiring dengan meningkatya orde, polinomial Taylor mendekati fungsi yang dihampirinya. Gambar ini menunjukkan  sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} (in black) dan hampiran Taylor, polinomial orde 1, 3, 5, 7, 9, 11 dan 13.

Fungsi eksponensial (warna biru), dan jumlahan suku ke n+1 awal deret Taylornya di titik 0 and (warna merah).

Deret Taylor dalam matematika adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Taylor mendapat nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat

f(a) +  (x-a) +  (x-a)² + (x-a)³ + ...

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x − a ) 3 + ⋯ {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots } yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

 (x-a)ⁿ

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}} dengan n! melambangkan faktorial n dan f ⁽ⁿ⁾(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a. Turunan ke nol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan (x − a)⁰ dan 0! didefinisikan sebagai 1.

Dalam kasus khusus di a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.

4.        COLIN MACLAURIN (1698-1746)

Colin Maclaurin lahir pada 1 Februari 1689- 14 Juni 1746. Ia seorang ahli matematika berkemampuan tinggi pada abad 18 dari skotlandia. Dalam pelajaran kalkulus permulaan ia dikenal dalam deret pangkat Maclaurin, yaitu ekspansi dari suatu fungsi  seperti yang dilakukan Taylor tetapi untuk

Maclaurin lahir di Kilmodan, Argyll. Ayahnya, Pendeta dan Menteri Glendaruel John Maclaurin, meninggal saat Maclaurin masih dalam masa pertumbuhan, dan ibunya meninggal sebelum mencapai usia sembilan tahun. Dia kemudian dididik di bawah asuhan pamannya, Pendeta Daniel Maclaurin, menteri Kilfinan.

Maclaurin memasuki Universitas Glasgow. Dia lulus MA tiga tahun kemudian dengan mempertahankan tesis tentang Kekuatan Gravitasi, dan tetap di Glasgow untuk belajar keilahian sampai dia berusia 19 tahun, saat dia terpilih sebagai profesor matematika dalam kompetisi sepuluh hari di Marischal College di University of Aberdeen. Rekor ini sebagai profesor termuda di dunia bertahan hingga Maret 2008, saat rekaman tersebut secara resmi diberikan kepada Alia Sabur .

Pada tahun 1725 Maclaurin ditunjuk sebagai wakil profesor matematika di Edinburgh, James Gregory (saudara laki-laki David Gregory dan keponakan James Gregory yang terhormat ), atas rekomendasi dari Isaac Newton. Pada tanggal 3 November tahun itu Maclaurin menggantikan Gregory, dan kemudian mengangkat karakter universitas itu sebagai sekolah sains. Newton sangat terkesan dengan Maclaurin yang ia tawarkan untuk membayar gajinya sendiri.

Maclaurin menggunakan deret Taylor untuk menandai maxima, minima, dan titik-titik infleksi untuk fungsi yang sangat berbeda dalam Risalah Fluksnya. Maclaurin menghubungkan serial tersebut dengan Taylor, meskipun serial tersebut sebelumnya dikenal di Newton dan Gregory, dan dalam kasus khusus Madhava Sangamagrama di India abad ke-14. Namun demikian, Maclaurin menerima pujian atas penggunaan seri tersebut, dan deret Taylor yang berkembang sekitar 0 kadang-kadang dikenal sebagai seri Maclaurin.

Ekspansi Maclaurin dari cos (x)

Ekspansi seri Maclaurin untuk cos ( x ) diberikan oleh Formula ini berlaku untuk semua nilai riil x .

Seri Maclaurin adalah perluasan rangkaian Taylor dari fungsi sekitar 0,

(1)

Seri Maclaurin dinamai ahli matematika Skotlandia Colin Maclaurin.

Maclaurin serangkaian fungsi Sampai dengan pesanan Dapat ditemukan dengan menggunakan Seri [ f , X , 0, n ]. Itu Th dari rangkaian fungsi Maclaurin Dapat dihitung dalam Bahasa Wolfram menggunakan SeriesCoefficient[ f , X , 0, n ] Dan diberikan oleh invers Z-transform

(2)

Seri Maclaurin adalah jenis ekspansi seri di mana semua istilah adalah bilangan integer nonnegatif dari variabel. Tipe seri lainnya yang lebih umum termasuk seri Laurent dan seri Puiseux.

Seri Maclaurin untuk fungsi umum meliputi

	(3)
	(4)
	(5)
	(6)
	(7)
	(8)
	(9)
	(10)
	(11)
	(12)
	(13)
	(14)
	(15)
	(16)
	(17)
	(18)
	(19)
	(20)
	(21)
	(22)
	(23)
	(24)
	(25)
	(25)
	(27)
	(28)
	(29)
	(30)
	(31)
	(32)
	(33)

Bentuk eksplisit untuk beberapa di antaranya adalah

	(34)
	(35)
	(36)
	(37)
	(38)
	(39)
	(40)
	(41)
	(42)
	(43)
	(44)
	(45)
	(46)
	(47)
	(48)
	(49)
	(50)
	(51)
	(52)
	(53)

dimana Adalah fungsi gamma, Adalah nomor Bernoulli , Adalah nomor Euler dan Adalah polinom Legendre.

Secara independen dari Euler dan menggunakan metode yang sama, Maclaurin menemukan formula Euler-Maclaurin. Dia menggunakannya untuk menghitung kekuatan progresi aritmatika, mendapatkan formula Stirling, dan untuk mendapatkan formula integrasi numerik Newton-Cotes yang mencakup aturan Simpson sebagai kasus khusus.

Maclaurin berkontribusi pada studi integral berbentuk bulat panjang, mengurangi banyak integral tak terkendali untuk masalah menemukan busur untuk hiperbola. Karyanya dilanjutkan oleh d'Alembert dan Euler, yang memberi pendekatan yang lebih ringkas.

Maclaurin secara aktif menentang Pemberontakan Jacobite tahun 1745 dan mengawasi operasi yang diperlukan untuk mempertahankan Edinburgh melawan tentara Highland. Maclaurin menyusun buku harian pengabdiannya melawan keluarga Yakub, baik di dalam maupun di luar kota. ^[9] Ketika tentara Highland memasuki kota, dia melarikan diri ke York , di mana dia diundang untuk tinggal oleh Uskup Agung York .

Dalam perjalanannya ke selatan,  Maclaurin jatuh dari kudanya, dan kepayahan, kegelisahan, dan kedinginan yang dia hadapi pada kesempatan itu meletakkan dasar-dasar sampah. Dia kembali ke Edinburgh setelah tentara Jacobite bergerak ke selatan, namun meninggal tak lama setelah dia kembali. Dia dimakamkan di Greyfriars Kirkyard , Edinburgh

Ahli matematika dan mantan Presiden MIT Richard Cockburn Maclaurin berasal dari keluarga yang sama.

Dalam bukunya Treatise of Algebra (Ch XII, Sect 86), diterbitkan pada tahun 1748 dua tahun setelah kematiannya, Maclaurin membuktikan sebuah peraturan untuk menyelesaikan sistem linier persegi dalam kasus 2 dan 3 yang tidak diketahui, dan mendiskusikan kasus 4 yang tidak diketahui. Publikasi ini didahului oleh dua tahun publikasi Cramer tentang generalisasi peraturan ke n tidak diketahui, sekarang dikenal sebagai aturan Cramer .

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Kontribusi penting pertama Jacob Bernoulli adalah sebuah pamflet tentang paralel logika dan aljabar yang diterbitkan pada tahun 1685, menghasilkan kemungkinan pada tahun 1685 dan geometri pada tahun 1687. Hasil geometrinya memberikan sebuah konstruksi untuk membagi segitiga menjadi empat bagian yang sama dengan dua garis tegak lurus. Jacob dengan saudaranya Johann, ahli pertama yang menggunakan kalkulus sebagai alat untuk menyelesaikan berbagai soal matematika. De Moivre terkenal dengan karyanya untuk integral peluang. Dan dasar kurva frekuensi normal yang sangat penting bagi pelajaran statistika. Dinamakan rumus Stirling yang menggemparkan yakni, (cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx. Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre dalam artikelnya pada tahun 1733 sebagai pendekatan distribusi binomial untuk n besar. Pada tahun 1715, menerbitkan teorema untuk ekspansi suatu fungsi menjadi suatu polinom yang dikenal dengan deret Taylor. Pada tahun 1717, ia menggunakan rumus ekspansi itu untuk penyelesaian persamaan numerik. Karya lain dari Taylor adalah dalam teori perspektif yang menjadi pemakaian matematika foogrametri. Dalam pelajaran kalkulus permulaan ia dikenal dalam deret pangkat Maclaurin, yaitu ekspansi dari suatu fungsi  seperti yang dilakukan Taylor tetapi untuk  

B.     Saran

1.      Seharusnya keluarga Bernoulli memaparkan lebih jelas mengenai penemuan-penemuan metematikanya.

2.      Dalam kurva normal yang ditemukan oleh de Moivre seharusnya lebih dijelskan secara terperinci

3.      Di dalam deret Taylor kurang memahami cara penyelesaiannya.

DAFTAR PUSTAKA

https://translate.google.co.id/translate?hl=id&sl=en&u=https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_family&prev=search

https://translate.google.co.id/translate?hl=id&sl=en&u=https://en.wikipedia.org/wiki/Jacob_Bernoulli&prev=search

https://en.wikipedia.org/wiki/Colin_Maclaurin

https://translate.google.co.id/translate?hl=id&sl=en&u=https://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Bernoulli&prev=search

https://translate.google.co.id/translate?hl=id&sl=en&u=https://en.wikipedia.org/wiki/Johann_II_Bernoulli&prev=search

https://translate.google.co.id/translate?hl=id&sl=en&u=https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolaus_I_Bernoulli&prev=search

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db364848b7df6ab826ab9f307aa8e87f9cc5d24ana

https://id.wikipedia.org/wiki/Distribusi_normal

https://translate.google.co.id/translate?hl=id&sl=en&u=https://en.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre&prev=search

https://books.google.co.id/books?id=FRJ9DQAAQBAJ&pg=PA4&lpg=PA4&dq=yang+dikembangkan+abraham+de+miovre&source=bl&ots=E9V8-P9oTZ&sig=p3UIFyl0i-Cm8vnvm3P_JdjxWLk&hl=id&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=yangdikembangkanabrahamdemoivre&f=false